3.920 \(\int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^4 \, dx\)

Optimal. Leaf size=170 \[ \frac {d^4 (a \sin (e+f x)+a)^{m+5}}{a^5 f (m+5)}+\frac {4 d^3 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac {6 d^2 (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac {4 d (c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac {(c-d)^4 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

[Out]

(c-d)^4*(a+a*sin(f*x+e))^(1+m)/a/f/(1+m)+4*(c-d)^3*d*(a+a*sin(f*x+e))^(2+m)/a^2/f/(2+m)+6*(c-d)^2*d^2*(a+a*sin
(f*x+e))^(3+m)/a^3/f/(3+m)+4*(c-d)*d^3*(a+a*sin(f*x+e))^(4+m)/a^4/f/(4+m)+d^4*(a+a*sin(f*x+e))^(5+m)/a^5/f/(5+
m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.18, antiderivative size = 170, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 31, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.065, Rules used = {2833, 43} \[ \frac {6 d^2 (c-d)^2 (a \sin (e+f x)+a)^{m+3}}{a^3 f (m+3)}+\frac {4 d^3 (c-d) (a \sin (e+f x)+a)^{m+4}}{a^4 f (m+4)}+\frac {4 d (c-d)^3 (a \sin (e+f x)+a)^{m+2}}{a^2 f (m+2)}+\frac {d^4 (a \sin (e+f x)+a)^{m+5}}{a^5 f (m+5)}+\frac {(c-d)^4 (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{a f (m+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^4,x]

[Out]

((c - d)^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(a*f*(1 + m)) + (4*(c - d)^3*d*(a + a*Sin[e + f*x])^(2 + m))/(a^2*f*(
2 + m)) + (6*(c - d)^2*d^2*(a + a*Sin[e + f*x])^(3 + m))/(a^3*f*(3 + m)) + (4*(c - d)*d^3*(a + a*Sin[e + f*x])
^(4 + m))/(a^4*f*(4 + m)) + (d^4*(a + a*Sin[e + f*x])^(5 + m))/(a^5*f*(5 + m))

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 2833

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)
])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m*(c + (d*x)/b)^n, x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, e, f, m, n}, x]

Rubi steps

\begin {align*} \int \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m (c+d \sin (e+f x))^4 \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int (a+x)^m \left (c+\frac {d x}{a}\right )^4 \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left ((c-d)^4 (a+x)^m+\frac {4 (c-d)^3 d (a+x)^{1+m}}{a}+\frac {6 (c-d)^2 d^2 (a+x)^{2+m}}{a^2}+\frac {4 (c-d) d^3 (a+x)^{3+m}}{a^3}+\frac {d^4 (a+x)^{4+m}}{a^4}\right ) \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{a f}\\ &=\frac {(c-d)^4 (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{a f (1+m)}+\frac {4 (c-d)^3 d (a+a \sin (e+f x))^{2+m}}{a^2 f (2+m)}+\frac {6 (c-d)^2 d^2 (a+a \sin (e+f x))^{3+m}}{a^3 f (3+m)}+\frac {4 (c-d) d^3 (a+a \sin (e+f x))^{4+m}}{a^4 f (4+m)}+\frac {d^4 (a+a \sin (e+f x))^{5+m}}{a^5 f (5+m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.69, size = 143, normalized size = 0.84 \[ \frac {(a (\sin (e+f x)+1))^{m+1} \left (\frac {4 a^4 d^3 (c-d) (\sin (e+f x)+1)^3}{m+4}+\frac {6 a^4 d^2 (c-d)^2 (\sin (e+f x)+1)^2}{m+3}+\frac {4 a^4 d (c-d)^3 (\sin (e+f x)+1)}{m+2}+\frac {a^4 (c-d)^4}{m+1}+\frac {d^4 (a \sin (e+f x)+a)^4}{m+5}\right )}{a^5 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^4,x]

[Out]

((a*(1 + Sin[e + f*x]))^(1 + m)*((a^4*(c - d)^4)/(1 + m) + (4*a^4*(c - d)^3*d*(1 + Sin[e + f*x]))/(2 + m) + (6
*a^4*(c - d)^2*d^2*(1 + Sin[e + f*x])^2)/(3 + m) + (4*a^4*(c - d)*d^3*(1 + Sin[e + f*x])^3)/(4 + m) + (d^4*(a
+ a*Sin[e + f*x])^4)/(5 + m)))/(a^5*f)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.55, size = 744, normalized size = 4.38 \[ \frac {{\left ({\left (c^{4} + 4 \, c^{3} d + 6 \, c^{2} d^{2} + 4 \, c d^{3} + d^{4}\right )} m^{4} + {\left ({\left (4 \, c d^{3} + d^{4}\right )} m^{4} + 120 \, c d^{3} + 2 \, {\left (22 \, c d^{3} + 3 \, d^{4}\right )} m^{3} + {\left (164 \, c d^{3} + 11 \, d^{4}\right )} m^{2} + 2 \, {\left (122 \, c d^{3} + 3 \, d^{4}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 120 \, c^{4} + 240 \, c^{2} d^{2} + 24 \, d^{4} + 2 \, {\left (7 \, c^{4} + 24 \, c^{3} d + 30 \, c^{2} d^{2} + 16 \, c d^{3} + 3 \, d^{4}\right )} m^{3} + {\left (71 \, c^{4} + 188 \, c^{3} d + 186 \, c^{2} d^{2} + 92 \, c d^{3} + 23 \, d^{4}\right )} m^{2} - 2 \, {\left ({\left (2 \, c^{3} d + 3 \, c^{2} d^{2} + 4 \, c d^{3} + d^{4}\right )} m^{4} + 120 \, c^{3} d + 120 \, c d^{3} + 2 \, {\left (13 \, c^{3} d + 15 \, c^{2} d^{2} + 19 \, c d^{3} + 3 \, d^{4}\right )} m^{3} + {\left (118 \, c^{3} d + 87 \, c^{2} d^{2} + 128 \, c d^{3} + 17 \, d^{4}\right )} m^{2} + 2 \, {\left (107 \, c^{3} d + 30 \, c^{2} d^{2} + 107 \, c d^{3} + 6 \, d^{4}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, {\left (77 \, c^{4} + 120 \, c^{3} d + 114 \, c^{2} d^{2} + 80 \, c d^{3} + 9 \, d^{4}\right )} m + {\left ({\left (c^{4} + 4 \, c^{3} d + 6 \, c^{2} d^{2} + 4 \, c d^{3} + d^{4}\right )} m^{4} + {\left (d^{4} m^{4} + 10 \, d^{4} m^{3} + 35 \, d^{4} m^{2} + 50 \, d^{4} m + 24 \, d^{4}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 120 \, c^{4} + 240 \, c^{2} d^{2} + 24 \, d^{4} + 2 \, {\left (7 \, c^{4} + 24 \, c^{3} d + 30 \, c^{2} d^{2} + 16 \, c d^{3} + 3 \, d^{4}\right )} m^{3} + {\left (71 \, c^{4} + 188 \, c^{3} d + 186 \, c^{2} d^{2} + 92 \, c d^{3} + 23 \, d^{4}\right )} m^{2} - 2 \, {\left ({\left (3 \, c^{2} d^{2} + 2 \, c d^{3} + d^{4}\right )} m^{4} + 120 \, c^{2} d^{2} + 24 \, d^{4} + 4 \, {\left (9 \, c^{2} d^{2} + 4 \, c d^{3} + 2 \, d^{4}\right )} m^{3} + {\left (147 \, c^{2} d^{2} + 34 \, c d^{3} + 29 \, d^{4}\right )} m^{2} + 2 \, {\left (117 \, c^{2} d^{2} + 10 \, c d^{3} + 23 \, d^{4}\right )} m\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, {\left (77 \, c^{4} + 120 \, c^{3} d + 114 \, c^{2} d^{2} + 80 \, c d^{3} + 9 \, d^{4}\right )} m\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )} {\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m}}{f m^{5} + 15 \, f m^{4} + 85 \, f m^{3} + 225 \, f m^{2} + 274 \, f m + 120 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

((c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4)*m^4 + ((4*c*d^3 + d^4)*m^4 + 120*c*d^3 + 2*(22*c*d^3 + 3*d^4)*m^3
+ (164*c*d^3 + 11*d^4)*m^2 + 2*(122*c*d^3 + 3*d^4)*m)*cos(f*x + e)^4 + 120*c^4 + 240*c^2*d^2 + 24*d^4 + 2*(7*
c^4 + 24*c^3*d + 30*c^2*d^2 + 16*c*d^3 + 3*d^4)*m^3 + (71*c^4 + 188*c^3*d + 186*c^2*d^2 + 92*c*d^3 + 23*d^4)*m
^2 - 2*((2*c^3*d + 3*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4)*m^4 + 120*c^3*d + 120*c*d^3 + 2*(13*c^3*d + 15*c^2*d^2 + 19*c*d^
3 + 3*d^4)*m^3 + (118*c^3*d + 87*c^2*d^2 + 128*c*d^3 + 17*d^4)*m^2 + 2*(107*c^3*d + 30*c^2*d^2 + 107*c*d^3 + 6
*d^4)*m)*cos(f*x + e)^2 + 2*(77*c^4 + 120*c^3*d + 114*c^2*d^2 + 80*c*d^3 + 9*d^4)*m + ((c^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*
d^2 + 4*c*d^3 + d^4)*m^4 + (d^4*m^4 + 10*d^4*m^3 + 35*d^4*m^2 + 50*d^4*m + 24*d^4)*cos(f*x + e)^4 + 120*c^4 +
240*c^2*d^2 + 24*d^4 + 2*(7*c^4 + 24*c^3*d + 30*c^2*d^2 + 16*c*d^3 + 3*d^4)*m^3 + (71*c^4 + 188*c^3*d + 186*c^
2*d^2 + 92*c*d^3 + 23*d^4)*m^2 - 2*((3*c^2*d^2 + 2*c*d^3 + d^4)*m^4 + 120*c^2*d^2 + 24*d^4 + 4*(9*c^2*d^2 + 4*
c*d^3 + 2*d^4)*m^3 + (147*c^2*d^2 + 34*c*d^3 + 29*d^4)*m^2 + 2*(117*c^2*d^2 + 10*c*d^3 + 23*d^4)*m)*cos(f*x +
e)^2 + 2*(77*c^4 + 120*c^3*d + 114*c^2*d^2 + 80*c*d^3 + 9*d^4)*m)*sin(f*x + e))*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(f*m^5
+ 15*f*m^4 + 85*f*m^3 + 225*f*m^2 + 274*f*m + 120*f)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.28, size = 1845, normalized size = 10.85 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

(6*((a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 2*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2
+ (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 + 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 8*
(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 5*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m + 2*(a
*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 6*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 6*(a*sin(f*x
+ e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2)*c^2*d^2/(a^2*m^3 + 6*a^2*m^2 + 11*a^2*m + 6*a^2) + 4*((a*sin(f*x + e) +
a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 3*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 + 3*(a*sin(f*x + e) +
a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^3 + 6*(a*sin(f*x + e)
+ a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^2 - 21*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2 + 24*(a*sin(f*x +
e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^2 - 9*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^2 + 11*(a*sin(f
*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 42*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m + 57*(a*sin(f*x
+ e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 26*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m + 6*(a*sin(f*
x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 24*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 36*(a*sin(f*x + e)
+ a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2 - 24*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3)*c*d^3/(a^3*m^4 + 10*a
^3*m^3 + 35*a^3*m^2 + 50*a^3*m + 24*a^3) + ((a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^4 - 4*(a*sin(f*x +
e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^4 + 6*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^4 - 4*(a*sin(f
*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^4 + (a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m^4 + 10*(a*si
n(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^3 - 44*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^3 + 72*(a*
sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m^3 - 52*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^3
+ 14*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m^3 + 35*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m^
2 - 164*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a*m^2 + 294*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^
m*a^2*m^2 - 236*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3*m^2 + 71*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e
) + a)^m*a^4*m^2 + 50*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - 244*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x
+ e) + a)^m*a*m + 468*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^2*m - 428*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(
f*x + e) + a)^m*a^3*m + 154*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^4*m + 24*(a*sin(f*x + e) + a)^5*(a*s
in(f*x + e) + a)^m - 120*(a*sin(f*x + e) + a)^4*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a + 240*(a*sin(f*x + e) + a)^3*(a*sin(f
*x + e) + a)^m*a^2 - 240*(a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*a^3 + 120*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f
*x + e) + a)^m*a^4)*d^4/(a^4*m^5 + 15*a^4*m^4 + 85*a^4*m^3 + 225*a^4*m^2 + 274*a^4*m + 120*a^4) + (a*sin(f*x +
e) + a)^(m + 1)*c^4/(m + 1) + 4*((a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m*m - (a*sin(f*x + e) + a)*(a*si
n(f*x + e) + a)^m*a*m + (a*sin(f*x + e) + a)^2*(a*sin(f*x + e) + a)^m - 2*(a*sin(f*x + e) + a)*(a*sin(f*x + e)
+ a)^m*a)*c^3*d/((m^2 + 3*m + 2)*a))/(a*f)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 19.37, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \cos \left (f x +e \right ) \left (a +a \sin \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (c +d \sin \left (f x +e \right )\right )^{4}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^4,x)

[Out]

int(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^4,x)

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.70, size = 457, normalized size = 2.69 \[ \frac {\frac {4 \, {\left (a^{m} {\left (m + 1\right )} \sin \left (f x + e\right )^{2} + a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) - a^{m}\right )} c^{3} d {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{2} + 3 \, m + 2} + \frac {6 \, {\left ({\left (m^{2} + 3 \, m + 2\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{3} + {\left (m^{2} + m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) + 2 \, a^{m}\right )} c^{2} d^{2} {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{3} + 6 \, m^{2} + 11 \, m + 6} + \frac {4 \, {\left ({\left (m^{3} + 6 \, m^{2} + 11 \, m + 6\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{4} + {\left (m^{3} + 3 \, m^{2} + 2 \, m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{3} - 3 \, {\left (m^{2} + m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{2} + 6 \, a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) - 6 \, a^{m}\right )} c d^{3} {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{4} + 10 \, m^{3} + 35 \, m^{2} + 50 \, m + 24} + \frac {{\left ({\left (m^{4} + 10 \, m^{3} + 35 \, m^{2} + 50 \, m + 24\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{5} + {\left (m^{4} + 6 \, m^{3} + 11 \, m^{2} + 6 \, m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{4} - 4 \, {\left (m^{3} + 3 \, m^{2} + 2 \, m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{3} + 12 \, {\left (m^{2} + m\right )} a^{m} \sin \left (f x + e\right )^{2} - 24 \, a^{m} m \sin \left (f x + e\right ) + 24 \, a^{m}\right )} d^{4} {\left (\sin \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m}}{m^{5} + 15 \, m^{4} + 85 \, m^{3} + 225 \, m^{2} + 274 \, m + 120} + \frac {{\left (a \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{m + 1} c^{4}}{a {\left (m + 1\right )}}}{f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m*(c+d*sin(f*x+e))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

(4*(a^m*(m + 1)*sin(f*x + e)^2 + a^m*m*sin(f*x + e) - a^m)*c^3*d*(sin(f*x + e) + 1)^m/(m^2 + 3*m + 2) + 6*((m^
2 + 3*m + 2)*a^m*sin(f*x + e)^3 + (m^2 + m)*a^m*sin(f*x + e)^2 - 2*a^m*m*sin(f*x + e) + 2*a^m)*c^2*d^2*(sin(f*
x + e) + 1)^m/(m^3 + 6*m^2 + 11*m + 6) + 4*((m^3 + 6*m^2 + 11*m + 6)*a^m*sin(f*x + e)^4 + (m^3 + 3*m^2 + 2*m)*
a^m*sin(f*x + e)^3 - 3*(m^2 + m)*a^m*sin(f*x + e)^2 + 6*a^m*m*sin(f*x + e) - 6*a^m)*c*d^3*(sin(f*x + e) + 1)^m
/(m^4 + 10*m^3 + 35*m^2 + 50*m + 24) + ((m^4 + 10*m^3 + 35*m^2 + 50*m + 24)*a^m*sin(f*x + e)^5 + (m^4 + 6*m^3
+ 11*m^2 + 6*m)*a^m*sin(f*x + e)^4 - 4*(m^3 + 3*m^2 + 2*m)*a^m*sin(f*x + e)^3 + 12*(m^2 + m)*a^m*sin(f*x + e)^
2 - 24*a^m*m*sin(f*x + e) + 24*a^m)*d^4*(sin(f*x + e) + 1)^m/(m^5 + 15*m^4 + 85*m^3 + 225*m^2 + 274*m + 120) +
(a*sin(f*x + e) + a)^(m + 1)*c^4/(a*(m + 1)))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 16.87, size = 1656, normalized size = 9.74 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(e + f*x)*(a + a*sin(e + f*x))^m*(c + d*sin(e + f*x))^4,x)

[Out]

exp(- e*5i - f*x*5i)*(a + a*((exp(- e*1i - f*x*1i)*1i)/2 - (exp(e*1i + f*x*1i)*1i)/2))^m*((exp(e*6i + f*x*6i)*
(2464*c^4*m + 20*d^4*m + 1920*c^4 + 240*d^4 + 2880*c^2*d^2 + 1136*c^4*m^2 + 224*c^4*m^3 + 16*c^4*m^4 + 206*d^4
*m^2 + 52*d^4*m^3 + 10*d^4*m^4 + 1776*c^2*d^2*m + 1200*c*d^3*m^2 + 3008*c^3*d*m^2 + 384*c*d^3*m^3 + 768*c^3*d*
m^3 + 48*c*d^3*m^4 + 64*c^3*d*m^4 + 1800*c^2*d^2*m^2 + 672*c^2*d^2*m^3 + 72*c^2*d^2*m^4 + 2400*c*d^3*m + 3840*
c^3*d*m))/(32*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) - (exp(e*4i + f*x*4i)*(2464*c^4*m + 2
0*d^4*m + 1920*c^4 + 240*d^4 + 2880*c^2*d^2 + 1136*c^4*m^2 + 224*c^4*m^3 + 16*c^4*m^4 + 206*d^4*m^2 + 52*d^4*m
^3 + 10*d^4*m^4 + 1776*c^2*d^2*m + 1200*c*d^3*m^2 + 3008*c^3*d*m^2 + 384*c*d^3*m^3 + 768*c^3*d*m^3 + 48*c*d^3*
m^4 + 64*c^3*d*m^4 + 1800*c^2*d^2*m^2 + 672*c^2*d^2*m^3 + 72*c^2*d^2*m^4 + 2400*c*d^3*m + 3840*c^3*d*m))/(32*f
*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) - (d^4*(50*m + 35*m^2 + 10*m^3 + m^4 + 24))/(32*f*(m
*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) + (exp(e*5i + f*x*5i)*(c^4*m*4928i - c^3*d*3840i - c*d^
3*2400i + d^4*m*264i + c^4*3840i + d^4*768i + c^2*d^2*7680i + c^4*m^2*2272i + c^4*m^3*448i + c^4*m^4*32i + d^4
*m^2*324i + d^4*m^3*72i + d^4*m^4*12i + c^2*d^2*m*5376i + c*d^3*m^2*816i + c^3*d*m^2*2240i + c*d^3*m^3*336i +
c^3*d*m^3*704i + c*d^3*m^4*48i + c^3*d*m^4*64i + c^2*d^2*m^2*3168i + c^2*d^2*m^3*960i + c^2*d^2*m^4*96i + c*d^
3*m*1200i + c^3*d*m*832i))/(32*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) + (d^4*exp(e*10i + f
*x*10i)*(50*m + 35*m^2 + 10*m^3 + m^4 + 24))/(32*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) +
(d^2*exp(e*2i + f*x*2i)*(3*m + m^2 + 2)*(216*c^2*m + 19*d^2*m + 480*c^2 + 60*d^2 + 24*c^2*m^2 + 5*d^2*m^2 + 80
*c*d*m + 16*c*d*m^2))/(32*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) - (d^2*exp(e*8i + f*x*8i)
*(3*m + m^2 + 2)*(216*c^2*m + 19*d^2*m + 480*c^2 + 60*d^2 + 24*c^2*m^2 + 5*d^2*m^2 + 80*c*d*m + 16*c*d*m^2))/(
32*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) - (d*exp(e*3i + f*x*3i)*(m + 1)*(c*d^2*120i + c^
3*m*188i + d^3*m*18i + c^3*240i + c^3*m^2*48i + c^3*m^3*4i + d^3*m^2*5i + d^3*m^3*1i + c*d^2*m^2*28i + c^2*d*m
^2*54i + c*d^2*m^3*4i + c^2*d*m^3*6i + c*d^2*m*64i + c^2*d*m*120i))/(4*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15
i + m^5*1i + 120i)) - (d*exp(e*7i + f*x*7i)*(m + 1)*(c*d^2*120i + c^3*m*188i + d^3*m*18i + c^3*240i + c^3*m^2*
48i + c^3*m^3*4i + d^3*m^2*5i + d^3*m^3*1i + c*d^2*m^2*28i + c^2*d*m^2*54i + c*d^2*m^3*4i + c^2*d*m^3*6i + c*d
^2*m*64i + c^2*d*m*120i))/(4*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)) + (d^3*exp(e*1i + f*x*
1i)*(c*20i + c*m*4i + d*m*1i)*(11*m + 6*m^2 + m^3 + 6))/(16*f*(m*274i + m^2*225i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i
+ 120i)) + (d^3*exp(e*9i + f*x*9i)*(c*20i + c*m*4i + d*m*1i)*(11*m + 6*m^2 + m^3 + 6))/(16*f*(m*274i + m^2*225
i + m^3*85i + m^4*15i + m^5*1i + 120i)))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 102.31, size = 9238, normalized size = 54.34 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))**m*(c+d*sin(f*x+e))**4,x)

[Out]

Piecewise((x*(c + d*sin(e))**4*(a*sin(e) + a)**m*cos(e), Eq(f, 0)), (-3*c**4/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a
**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 16*c**3*d*sin(e + f*
x)/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)
+ 12*a**5*f) - 4*c**3*d/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 +
48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 36*c**2*d**2*sin(e + f*x)**2/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(
e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 24*c**2*d**2*sin(e + f*x)/(12*
a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a
**5*f) - 6*c**2*d**2/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a
**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 48*c*d**3*sin(e + f*x)**3/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x
)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 72*c*d**3*sin(e + f*x)**2/(12*a**5*f*
sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f)
- 48*c*d**3*sin(e + f*x)/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 +
48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) - 12*c*d**3/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a*
*5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) + 12*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**4/(12
*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*
a**5*f) + 48*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**3/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3
+ 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) + 72*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x
)**2/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*
x) + 12*a**5*f) + 48*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*
x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) + 12*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)/(12*a*
*5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**
5*f) + 48*d**4*sin(e + f*x)**3/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)
**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) + 108*d**4*sin(e + f*x)**2/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*si
n(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5*f) + 88*d**4*sin(e + f*x)/(12*a**
5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*sin(e + f*x) + 12*a**5
*f) + 25*d**4/(12*a**5*f*sin(e + f*x)**4 + 48*a**5*f*sin(e + f*x)**3 + 72*a**5*f*sin(e + f*x)**2 + 48*a**5*f*s
in(e + f*x) + 12*a**5*f), Eq(m, -5)), (-c**4/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*s
in(e + f*x) + 3*a**4*f) - 6*c**3*d*sin(e + f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*
f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 2*c**3*d/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e +
f*x) + 3*a**4*f) - 18*c**2*d**2*sin(e + f*x)**2/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*
f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 18*c**2*d**2*sin(e + f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 +
9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 6*c**2*d**2/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*
f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) + 12*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**3/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**
4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) + 36*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(3*a
**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) + 36*c*d**3*log(sin(e + f
*x) + 1)*sin(e + f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f)
+ 12*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x
) + 3*a**4*f) + 36*c*d**3*sin(e + f*x)**2/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(
e + f*x) + 3*a**4*f) + 54*c*d**3*sin(e + f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*
sin(e + f*x) + 3*a**4*f) + 22*c*d**3/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f
*x) + 3*a**4*f) - 12*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**3/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f
*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 36*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(3*a**4*f*sin(e + f
*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 36*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e +
f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) - 12*d**4*log(si
n(e + f*x) + 1)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) + 3*d
**4*sin(e + f*x)**4/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f) -
36*d**4*sin(e + f*x)**2/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4
*f) - 54*d**4*sin(e + f*x)/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a*
*4*f) - 22*d**4/(3*a**4*f*sin(e + f*x)**3 + 9*a**4*f*sin(e + f*x)**2 + 9*a**4*f*sin(e + f*x) + 3*a**4*f), Eq(m
, -4)), (-c**4/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 8*c**3*d*sin(e + f*x)/(2*a**3*f
*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 4*c**3*d/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f
*x) + 2*a**3*f) + 12*c**2*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(
e + f*x) + 2*a**3*f) + 24*c**2*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*si
n(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*c**2*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x)
+ 2*a**3*f) + 24*c**2*d**2*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 18*c**
2*d**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 24*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e +
f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 48*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e
+ f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 24*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(2*a**
3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 8*c*d**3*sin(e + f*x)**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 +
4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 48*c*d**3*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x)
+ 2*a**3*f) - 36*c*d**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*d**4*log(sin(e + f*
x) + 1)*sin(e + f*x)**2/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 24*d**4*log(sin(e + f*
x) + 1)*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 12*d**4*log(sin(e + f*x)
+ 1)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + d**4*sin(e + f*x)**4/(2*a**3*f*sin(e + f*
x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) - 4*d**4*sin(e + f*x)**3/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e
+ f*x) + 2*a**3*f) + 24*d**4*sin(e + f*x)/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f) + 18*d
**4/(2*a**3*f*sin(e + f*x)**2 + 4*a**3*f*sin(e + f*x) + 2*a**3*f), Eq(m, -3)), (-3*c**4/(3*a**2*f*sin(e + f*x)
+ 3*a**2*f) + 12*c**3*d*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 12*c**3*d*log
(sin(e + f*x) + 1)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 12*c**3*d/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 36*c**2
*d**2*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 36*c**2*d**2*log(sin(e + f*x) +
1)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 18*c**2*d**2*sin(e + f*x)**2/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 36*c
**2*d**2/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 36*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(3*a**2*f*sin(e + f
*x) + 3*a**2*f) + 36*c*d**3*log(sin(e + f*x) + 1)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 6*c*d**3*sin(e + f*x)**
3/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 18*c*d**3*sin(e + f*x)**2/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 36*c*d**
3/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 12*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a
**2*f) - 12*d**4*log(sin(e + f*x) + 1)/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + d**4*sin(e + f*x)**4/(3*a**2*f*sin
(e + f*x) + 3*a**2*f) - 2*d**4*sin(e + f*x)**3/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) + 6*d**4*sin(e + f*x)**2/(3*
a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f) - 12*d**4/(3*a**2*f*sin(e + f*x) + 3*a**2*f), Eq(m, -2)), (c**4*log(sin(e + f*
x) + 1)/(a*f) - 4*c**3*d*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) + 4*c**3*d*sin(e + f*x)/(a*f) + 6*c**2*d**2*log(sin(e + f
*x) + 1)/(a*f) + 3*c**2*d**2*sin(e + f*x)**2/(a*f) - 6*c**2*d**2*sin(e + f*x)/(a*f) - 4*c*d**3*log(sin(e + f*x
) + 1)/(a*f) + 4*c*d**3*sin(e + f*x)**3/(3*a*f) - 2*c*d**3*sin(e + f*x)**2/(a*f) + 4*c*d**3*sin(e + f*x)/(a*f)
+ d**4*log(sin(e + f*x) + 1)/(a*f) + d**4*sin(e + f*x)**4/(4*a*f) - d**4*sin(e + f*x)**3/(3*a*f) + d**4*sin(e
+ f*x)**2/(2*a*f) - d**4*sin(e + f*x)/(a*f), Eq(m, -1)), (c**4*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m
**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + c**4*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f
*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 14*c**4*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5
+ 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 14*c**4*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*
m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 71*c**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 +
15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 71*c**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m
**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 154*c**4*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15
*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 154*c**4*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 +
85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 120*c**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4
+ 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 120*c**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**
3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 4*c**3*d*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4
+ 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 4*c**3*d*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*
f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 52*c**3*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f
*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 48*c**3*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e +
f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 4*c**3*d*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/
(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 236*c**3*d*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(
e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 188*c**3*d*m**2*(a*sin(e + f*x)
+ a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 48*c**3*d*m**2*(a*sin(e
+ f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 428*c**3*d*m*(a*sin(e + f*x)
+ a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 240*c**3*d*m*(a*sin
(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 188*c**3*d*m*
(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 240*c**3*d*(a*sin(e
+ f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 240*c**3*d*(a
*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 6*c**2*d**2*m**4*(a*si
n(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 6*c**2*d*
*2*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f
) + 72*c**2*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 2
74*f*m + 120*f) + 60*c**2*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 +
225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 12*c**2*d**2*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 8
5*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 294*c**2*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5
+ 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 174*c**2*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f
*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 108*c**2*d**2*m**2*(a*sin(e + f*x) +
a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 12*c**2*d**2*m**2*(a*sin(
e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 468*c**2*d**2*m*(a*sin(e +
f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 120*c**2*d**2*m
*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 240
*c**2*d**2*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120
*f) + 108*c**2*d**2*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f)
+ 240*c**2*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m
+ 120*f) + 240*c**2*d**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120
*f) + 4*c*d**3*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274
*f*m + 120*f) + 4*c*d**3*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*
m**2 + 274*f*m + 120*f) + 44*c*d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m*
*3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 32*c*d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**
4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 12*c*d**3*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5
+ 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 164*c*d**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x
)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 68*c*d**3*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*
sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 72*c*d**3*m**2*(a*sin(e + f*
x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 24*c*d**3*m**2*(a
*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 244*c*d**
3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) +
40*c*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 1
20*f) - 60*c*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274
*f*m + 120*f) + 120*c*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2
+ 274*f*m + 120*f) - 24*c*d**3*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f
*m + 120*f) + 120*c*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2
+ 274*f*m + 120*f) - 120*c*d**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m
+ 120*f) + d**4*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**5/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 2
74*f*m + 120*f) + d**4*m**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m*
*2 + 274*f*m + 120*f) + 10*d**4*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**5/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 +
225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 6*d**4*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*
f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 4*d**4*m**3*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m*
*4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 35*d**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**5/(f*m**5
+ 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 11*d**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4
/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 12*d**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e
+ f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 12*d**4*m**2*(a*sin(e + f*x) + a)*
*m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 50*d**4*m*(a*sin(e + f*x)
+ a)**m*sin(e + f*x)**5/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 6*d**4*m*(a*sin(e +
f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**4/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 8*d**4*m*(a*si
n(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**3/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) + 12*d**4*m
*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**2/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) - 24*
d**4*m*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f) +
24*d**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m*sin(e + f*x)**5/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f
) + 24*d**4*(a*sin(e + f*x) + a)**m/(f*m**5 + 15*f*m**4 + 85*f*m**3 + 225*f*m**2 + 274*f*m + 120*f), True))

________________________________________________________________________________________